論「重傷華爾街的數學模型」一文

在金融海嘯成型，并造成經濟衰退時，網路流傳一篇媒體報導名為「重傷華爾街的數學模型」的文章
(內容可參考http://news.epochtimes.com.tw/9/3/13/107489.htm或http://tw.myblog.yahoo.com/jw!77k8Nm.CAES5kcLoh_95iA--/article?mid=2175)，報導內容如下：

[b]「在利益驅使下，華爾街大量運用一個充滿爭議的數學模型，被認為是導致整個市場崩潰的原因之一。」

【記者吳英／綜合外電編譯】自金融危機以來，媒體、學術界及政治人物都在尋找導致華爾街災難的「真兇」，2月底《Wired》月刊發表了記者沙爾蒙（F. Salmon）題為〈災難的處方──摧毀華爾街的公式〉（Recipe for Disaster-The Formula That Killed Wall Street）的文章，認為投資人在不了解數學公式背后的假設的情況下，濫用統計學博士李祥林（David X. Li）開創的一個用以評估違約相關性的公式，是導致全球金融危機連鎖骨牌效應的禍首。

這個充滿爭議的數學公式的首創人李祥林，1960年代出生于中國江蘇的連云港，擁有南開大學經濟學碩士、加拿大滑鐵盧大學（University of Waterloo）統計學博士學位。

2000年當時還在摩根大通（JP Morgan Chase）任職的李祥林在《固定收入期刊》（The Journal of Fixed Income）發表了〈聯結函數的違約相關分析〉（On Default Correlation: A Copula Function Approach）的論文。這篇論文中以簡易的數學建構違約相關性的模型，刺激了信貸衍生債券市場的爆炸性發展，帶動一種新興衍生金融工具「信貸違約掉期」（CDS, Credit Default Swaps）。

自此債券投資者、金融界、評級機構以及監管者大量運用李的模型，但卻忽略了李對該模型有所限制的警告，終致失靈并因此付出可怕的代價。

李祥林從事的研究是確定資產間的相關性，或稱之為一些獨立事件的相關性，并以簡單和規范的數學模型計算，稱之為「高斯－聯結相依函數」（Gaussian copula function）。該函數可說是金融界的突破，以相對簡易的數學公式計算複雜的金融商品間的風險相關性。

沙爾蒙在文中以簡單的例子說明李祥林模型有關「相關性」的基本概念。假設一名就讀國小的女孩艾莉絲，其父母離異、得到頭虱、看到老師踩到香蕉皮滑倒、以及贏得班上拼字比賽冠軍的機率都是5％，而所有投資客如果決定債券交易的價格都是以上述機率為基準時，那麼他們的價格或多或少會是一樣的。

然而，如果再加上一名坐在艾莉絲旁邊的芭比，那麼情況就不一樣了。舉例來說，芭比父母離異是否會影響艾莉絲父母離異的機率，答案是艾莉絲父母離異的機率還是5％，因此二者的相關性為零。另外，如果芭比得到頭虱，艾莉絲得到頭虱的機率可能高達50％，也就是二者的相關性可能達0.5。再者，芭比 看到老師踩到香蕉皮滑倒，艾莉絲也看到的機率可能高達95％，因為她們倆人坐在一起，所以相關性接近1。而如果芭比在班上得到拼字比賽冠軍，表示艾莉絲贏得冠軍的機率是0，二者的相關性為負1。因此如果投資者是以上述的情況作為決定交易債券價格的參考時，價格的變化就大多了。

沙爾蒙在文中指出，一個看似簡單的計量模型之所以對金融界帶來如此毀滅性的原因在于，美國房貸債券市場高達11兆美元，投資者通常投資成千上萬不同的房貸債券。每個債券現金流量、違約率及提前償還的機率都不一樣，毫無規律可循，彼此之間的相關性更是複雜無比。( cxh99.com )

但金融界利用李祥林的「高斯－聯結相依函數」，將原本已經很複雜的資產，進行切割（tranching），成為風險等級與投資報酬率不同的金融商品，然后推算出各個切割后不同部分（tranche）的風險相關性，并以此算出他們的價格。

這一計價模型僅根據過去幾年金融商品的市場價格，就推算出一個相關性數據，而且假設這個相關性會永久維持不變。然而，過去幾年是房地產市場的牛市（bull market），房屋價格不斷上漲，所有華爾街的投資銀行家、交易員或風險基金管理人都忽略了房價可能下跌的現實，也就是說低估了許多金融商品的風險，高估了這些商品的價格。

李祥林早在2005年接受《華爾街日報》採訪時就表示，「很少人了解這個模型的本質」。
其實早有許多市場分析師提出警告，但整個市場處于利益追逐的瘋狂狀態，大批不了解數學公式背后假設的管理人員，在利益的驅使下，將李祥林的公式四處濫用，而且衍生出越來越複雜的金融商品，一旦基本假設條件改變，整個市場就此崩潰。

正如李祥林對自己開創的模型的評價：「最危險的部分是，人們相信模型推算出的所有數據。」
雖然他設計的模型導致了華爾街金融危機，但李祥林格外低調，在美國很少有關于他的報導。據了解，他在2008年回到中國大陸，擔任中國國際金融公司（China International Capital Corporation，CICC）風險管理部門主管。

雖然，李祥林充分了解自己模型的缺點，但還是令人好奇，他將如何利用一個失敗的模型管理CICC的風險。[/b]

媒體一向喜歡嘩眾取寵，下「重口味」的標題，實情又如何呢?

把所有的過錯都推給一個人的一篇文章，是否公平，或者太抬舉了呢?(事情發生了就找替死鬼(反正都是他的錯)，共犯就可逃之夭夭，而一般人也可以安心睡覺)。

為了一探究竟，我特別到網路上把該篇罪魁禍首的文章(On Default Correlation: A Copula Function Approach)找出來，并大致研讀了一下，考慮到本論壇的特性，我盡量用比較不學術的語言簡單敘述其內容，并作評論。

這篇文章主要是提出一種計算資產組合違約風險的一般化模型，其實用變異與共變異的方式處理資產間的違約風險，老早就有了(此作法若要溯源，其實就是1952年Markowitz的投資組合理論中計算投組市場風險的作法，關于Markowitz模型的問題以后再談)。

李祥林只不過將之「一般化」以擴大應用罷了。一般化系學術研究的習慣，例如愛因斯坦就把牛頓力學一般化，也就是提出新模型，讓原來的典范模型變成一種特殊狀況，新模型當然就更放諸四海蘿。關于這點可以參考論文最關鍵的一段話：

「
We can conclude that CreditMetrics uses a bivariate normal copula function with the asset correlation as the
correlation parameter in the copula function. Thus, to generate survival times of two credit risks, we use
a bivariate normal copula function with correlation parameter equal to the CreditMetrics asset correlation.
We note that this correlation parameter is not the correlation coefficient between the two survival times. The
correlation coefficient between the survival times is much smaller than the asset correlation. Conveniently,
the marginal distribution of any subset of an n dimensional normal distribution is still a normal distribution.
Using asset correlations, we can construct high dimensional normal copula functions to model the credit
portfolio of any size.

 譯文：我們可以得出這樣的結論：CreditMetrics模型使用二維正態Copula函數與資產相關的
在Copula函數的相關參數。因此，我們使用的是產生2個信用風險的生存時間
雙變量正態Copula函數和相關參數等于風險資產相關性。
我們注意到，這種相關參數是不相關系數之間的生存時間。這個
生存時間的相關系數比資產相關性小得多。方便，
正態分布的任意子集的邊緣分布仍為正態分布。
利用資產的相關性，我們可以構造高維正態Copula函數模型的信用
任何規模的投資組合。
」

看到沒有，在李祥林之前，CreditMetrics就已經在用了。

換言之，你可以說李助紂為虐，卻不能說他是始作俑者。

再則，批評他助紂為虐也太過，本來所有的風險模型都是依據過去的資料與統計假設，問題來了「過去的風險結構可能會變」(且有時候，甚至大部份時候，風險結構變化對于因此形成的最適資產組合還滿敏感的，以后再談；但你不依據歷史資料有能依據甚麼?)，再則，資產走勢真的依據常態嗎?最近，學者一直在處理「厚尾」與「前后期相關」，就知前提假設大有問題。

因此，我雖不同意報導的部分觀點，我倒是接受
「每個債券現金流量、違約率及提前償還的機率都不一樣，毫無規律可循，彼此之間的相關性更是複雜無比」
「這一計價模型僅根據過去幾年金融商品的市場價格，就推算出一個相關性數據，而且假設這個相關性會永久維持不變。然而，過去幾年是房地產市場的牛市（bull market），房屋價格不斷上漲，所有華爾街的投資銀行家、交易員或風險基金管理人都忽略了房價可能下跌的現實，也就是說低估了許多金融商品的風險，高估了這些商品的價格。」（ www.tumamayizhan.com ）

「大批不了解數學公式背后假設的管理人員，在利益的驅使下，將李祥林的公式四處濫用，而且衍生出越來越複雜的金融商品，一旦基本假設條件改變，整個市場就此崩潰。」

「最危險的部分是，人們相信模型推算出的所有數據。」

這幾句話。

也因此，我們作程式交易要很小心，若「市場結構是會變的」，永續圣杯就難以企求了。

關于此，我會用幾篇文章繼續申論。